3. Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды равно 4см и образует с плоскостью основания угол 45°. Найдите высоту и площадь боковой поверхности пирамиды.

Решение:

Пусть боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды равно \( l = 4 \) см. Угол между боковым ребром и плоскостью основания равен \( \alpha = 45^{\circ} \).

В правильной четырехугольной пирамиде основание – квадрат. Диагональ основания \( d \) связана с боковым ребром \( l \) и углом \( \alpha \) соотношением:

\[ \cos \alpha = \frac{d/2}{l} \]

\[ \cos 45^{\circ} = \frac{d/2}{4} \]

\[ \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{d}{8} \]

\[ d = 8 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2} \) см.

Сторона основания \( a \) квадрата связана с диагональю \( d \) соотношением \( d = a\sqrt{2} \).

\[ a = \frac{d}{\sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 4 \) см.

Высота пирамиды \( H \) связана с боковым ребром \( l \) и углом \( \alpha \) соотношением:

\[ \sin \alpha = \frac{H}{l} \]

\[ \sin 45^{\circ} = \frac{H}{4} \]

\[ \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{H}{4} \]

\[ H = 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} \) см.

Для нахождения площади боковой поверхности найдем апофему \( h_a \). Апофема – это высота боковой грани (треугольника). В прямоугольном треугольнике, образованном апофемой, половиной стороны основания и боковым ребром:

\[ h_a^2 + (a/2)^2 = l^2 \]

\[ h_a^2 + (4/2)^2 = 4^2 \]

\[ h_a^2 + 2^2 = 16 \]

\[ h_a^2 + 4 = 16 \]

\[ h_a^2 = 12 \]

\[ h_a = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \) см.

Площадь боковой поверхности равна:

\[ S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot P_{осн} \cdot h_a \]

Периметр основания \( P_{осн} = 4a = 4 \cdot 4 = 16 \) см.

\[ S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot 16 \text{ см} \cdot 2\sqrt{3} \text{ см} = 16\sqrt{3} \text{ см}^2 \]

Ответ: Высота пирамиды равна \( 2\sqrt{2} \) см, площадь боковой поверхности равна \( 16\sqrt{3} \) см².