№1. В прямом параллелепипеде стороны основания 4 см и 3 см образуют угол 30°. Боковая поверхность равна 20см 2. Найдите его объем.

Решение:

1. Найдем площадь основания параллелепипеда: \( S_{осн} = a \cdot b \cdot \sin{\alpha} \).
2. Подставим значения: \( S_{осн} = 4 \text{ см} \cdot 3 \text{ см} \cdot \sin{30^{\circ}} = 12 \text{ см}^2 \cdot 0.5 = 6 \text{ см}^2 \).
3. Найдем высоту параллелепипеда, используя формулу боковой поверхности: \( S_{бок} = P_{осн} \cdot h \).
4. Периметр основания: \( P_{осн} = 2(a + b) = 2(4 \text{ см} + 3 \text{ см}) = 2 \cdot 7 \text{ см} = 14 \text{ см} \).
5. Вычислим высоту: \( h = \frac{S_{бок}}{P_{осн}} = \frac{20 \text{ см}^2}{14 \text{ см}} = \frac{10}{7} \text{ см} \).
6. Найдем объем параллелепипеда: \( V = S_{осн} \cdot h \).
7. Подставим значения: \( V = 6 \text{ см}^2 \cdot \frac{10}{7} \text{ см} = \frac{60}{7} \text{ см}^3 \).

Ответ: \(\frac{60}{7}\) см³.