№ 3. В правильной треугольной пирамиде сторона основания 7 дм, боковое ребро 12дм. Найдите объем пирамиды.

Решение:

1. Объем пирамиды вычисляется по формуле: \( V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h \).
2. Основанием правильной треугольной пирамиды является равносторонний треугольник. Площадь равностороннего треугольника вычисляется по формуле: \( S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \).
3. Подставим значение стороны основания: \( S_{осн} = \frac{7^2\sqrt{3}}{4} = \frac{49\sqrt{3}}{4} \text{ дм}^2 \).
4. Чтобы найти высоту пирамиды, нам нужно найти радиус окружности, описанной около основания. Для равностороннего треугольника радиус описанной окружности равен: \( r = \frac{a}{\sqrt{3}} \).
5. Подставим значение стороны основания: \( r = \frac{7}{\sqrt{3}} \text{ дм} \).
6. Теперь найдем высоту пирамиды, используя теорему Пифагора: \( h = \sqrt{l^2 - r^2} \), где \( l \) — длина бокового ребра.
7. \( h = \sqrt{12^2 - (\frac{7}{\sqrt{3}})^2} = \sqrt{144 - \frac{49}{3}} = \sqrt{\frac{144 \cdot 3 - 49}{3}} = \sqrt{\frac{432 - 49}{3}} = \sqrt{\frac{383}{3}} \text{ дм} \).
8. Найдем объем пирамиды: \( V = \frac{1}{3} \cdot \frac{49\sqrt{3}}{4} \text{ дм}^2 \cdot \sqrt{\frac{383}{3}} \text{ дм} = \frac{49\sqrt{3}}{12} \cdot \frac{\sqrt{383}}{\sqrt{3}} \text{ дм}^3 = \frac{49\sqrt{383}}{12} \text{ дм}^3 \).

Ответ: \(\frac{49\sqrt{383}}{12}\) дм³.