1. В прямоугольнике DANT точка Z является точкой пересечения диагоналей. ∠DNT = 30°, TN = 2 см. Найдите углы и периметр треугольника DZT.

В прямоугольнике диагонали равны и делятся точкой пересечения пополам. Кроме того, треугольник DNT прямоугольный: ∠DTN = 90°.

1. В треугольнике DNT угол при D равен 60°: ∠NDT = 180° − 90° − 30° = 60°.
2. Так как TN = 2 см — катет, лежащий напротив угла 60°, гипотенуза DN = 4 см, а DT = 2√3 см.
3. Z — середина диагонали DN, поэтому DZ = DN/2 = 2 см. Поскольку диагонали прямоугольника равны и делятся пополам, ZT = DZ = 2 см.
4. В треугольнике DZT стороны DZ и ZT равны, поэтому углы при D и T равны. Угол DZT — угол между диагоналями. В равнобедренном треугольнике с боковыми сторонами 2 см и основанием 2√3 см этот угол равен 120°, а углы при основании — по 30°.
5. Периметр: P = 2 + 2 + 2√3 = 4 + 2√3 см.

Ответ: ∠DZT = 120°, ∠ZDT = ∠DTZ = 30°; P = 4 + 2√3 см.