1. В прямоугольнике угол между диагоналями равен 60°, меньшая сторона равна 5 см. Чему равна диагональ прямоугольника?

Пусть меньшая сторона равна \(a=5\) см, а диагональ — \(d\). Диагонали прямоугольника равны и делятся точкой пересечения пополам. Угол между их половинами, направленными к концам меньшей стороны, равен 60°.

Рассмотрим треугольник, образованный меньшей стороной и двумя половинами диагоналей. Он равнобедренный, а его основание равно 5 см. По теореме косинусов:

\(5^2=d^2+d^2-2d^2\cos 60^\circ=d^2\), поэтому \(d=5\) см?

Исправим учёт сторон: угол 60° в этом треугольнике — между диагоналями, а сторона напротив него равна меньшей стороне. Поэтому \(a^2=d^2\), что дало бы равенство стороны и диагонали, невозможное для прямоугольника. Следовательно, угол 60° задаёт треугольник с основанием, равным большей стороне; меньшая сторона соответствует разности направлений диагоналей. Из соотношения \(\tan 30^\circ=a/b\) получаем \(b=\sqrt3a\), а \(d=\sqrt{a^2+b^2}=2a\).

Ответ: 10 см.