3. На стороне DC прямоугольника HDCF отметили её середину — точку B. Оказалось, что BH ⟂ BF. Меньшая сторона прямоугольника равна 7 см. Найдите его периметр.

Обозначим стороны прямоугольника через \(a\) и \(b\), где \(a\) — меньшая сторона. Возьмём координаты: \(H=(0,0)\), \(D=(a,0)\), \(C=(a,b)\), \(F=(0,b)\). Поскольку B — середина DC, \(B=(a,b/2)\).

Перпендикулярность BH и BF означает, что скалярное произведение векторов равно нулю:

\(\overrightarrow{BH}=(-a,-b/2)\), \(\overrightarrow{BF}=(-a,b/2)\).

\(\overrightarrow{BH}\cdot\overrightarrow{BF}=a^2-b^2/4=0\), значит, \(b=2a\). Следовательно, меньшая сторона — \(a=7\) см, а большая — \(14\) см.

Периметр: \(P=2(7+14)=42\) см.

Ответ: 42 см.