1. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ известно, что BD₁=7, BB₁=4, B₁C₁= √8. Найдите длину ребра AB.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Найдем диагональ основания BD. В прямоугольном параллелепипеде диагональ квадрата в основании (d_осн) связана с ребром (a) соотношением d_осн = a * √2. В прямоугольнике диагональ (d) связана с сторонами (a, b) соотношением d² = a² + b². В данной задаче, в основании лежит прямоугольник ABCD. Мы знаем диагональ BD₁ = 7, высоту BB₁ = 4, и ребро B₁C₁ = √8. Сначала найдем диагональ основания BD. В прямоугольнике BCDA, диагональ BD связана с сторонами BC и CD. Однако, мы можем использовать прямоугольный треугольник BB₁D₁. По теореме Пифагора: $$BD^2 + BB_1^2 = BD_1^2$$. $$BD^2 + 4^2 = 7^2$$. $$BD^2 + 16 = 49$$. $$BD^2 = 49 - 16 = 33$$. $$BD = √33$$.
2. Шаг 2: Теперь используем диагональ основания BD для нахождения ребра AB. В прямоугольнике ABCD, диагональ BD связана со сторонами AB и BC. По теореме Пифагора: $$AB^2 + BC^2 = BD^2$$. Мы знаем, что $$B_1C_1 = √8$$, и так как это параллелепипед, $$BC = B_1C_1 = √8$$. Подставляем значения: $$AB^2 + (√8)^2 = (√33)^2$$. $$AB^2 + 8 = 33$$. $$AB^2 = 33 - 8 = 25$$. $$AB = √25 = 5$$.

Ответ: 5