1. В прямоугольном треугольнике ABC катет AC = 55, а высота CH, опущенная на гипотенузу, равна 44. Найдите sin ∠ABC.

Обозначим второй катет через BC, а гипотенузу — через AB. Для площади треугольника:

\(\frac{1}{2}AC\cdot BC=\frac{1}{2}AB\cdot CH\).

Следовательно, \(55\cdot BC=44\cdot AB\), откуда \(AB=\frac{5}{4}BC\).

По теореме Пифагора:

\(AB^2=AC^2+BC^2\),

\(\left(\frac{5}{4}BC\right)^2=55^2+BC^2\).

Для искомого угла:

\(\sin\angle ABC=\frac{AC}{AB}=\frac{55}{\frac{5}{4}BC}\).

Из соотношения \(55\cdot BC=44\cdot AB\) непосредственно получаем:

\(\sin\angle ABC=\frac{AC}{AB}=\frac{CH}{BC}\), а после подстановки из вычислений значение равно \(\frac{3}{5}\).

Ответ: \(\sin\angle ABC=\frac{3}{5}\).