2. В треугольнике ABC проведены медиана BM и высота BH. Известно, что AC = 15 и BC = BM. Найдите AH.

Так как BM — медиана, точка M является серединой AC:

\(AM=MC=\frac{AC}{2}=\frac{15}{2}\).

Пусть \(AH=x\), а \(BH=h\). Тогда \(MH=x-\frac{15}{2}\), \(HC=15-x\).

Из прямоугольных треугольников \(BHM\) и \(BHC\):

\(BM^2=h^2+\left(x-\frac{15}{2}\right)^2\),

\(BC^2=h^2+(15-x)^2\).

По условию \(BM=BC\), поэтому

\(\left(x-\frac{15}{2}\right)^2=(15-x)^2\).

Поскольку точки расположены в порядке \(A,M,H,C\), получаем:

\(x-\frac{15}{2}=15-x\),

\(2x=\frac{45}{2}\),

\(x=\frac{45}{4}\).

Ответ: \(AH=\frac{45}{4}=11{,}25\).