1. В прямоугольной системе координат заданы векторы a = (−3; 4) и b = (2; −5). Найдите координаты вектора c = 2a − 3b и его длину. Постройте вектор c, если известно, что его конец совпадает с точкой M(−1; 3).

Вычислим координаты вектора по координатам исходных векторов:

\(\vec c=2\vec a-3\vec b=(2\cdot(-3)-3\cdot2;\ 2\cdot4-3\cdot(-5))=(-12;23)\).

Найдём длину вектора:

\(|\vec c|=\sqrt{(-12)^2+23^2}=\sqrt{673}\).

Если конец вектора — точка \(M(-1;3)\), то координаты его начала \(N(x;y)\) удовлетворяют равенству \(\overrightarrow{NM}=(-12;23)\). Поэтому \(N=M-\vec c=(-1-(-12);\ 3-23)=(11;-20)\).

На чертеже показан вектор \(\overrightarrow{NM}\) с началом \(N(11;-20)\) и концом \(M(-1;3)\).

Ответ: \(\vec c=(-12;23)\), \(|\vec c|=\sqrt{673}\); начало построенного вектора — \(N(11;-20)\).