3. Докажите, что четырёхугольник ABCD, заданный координатами своих вершин A(2; 1), B(5; 2), C(6; 5), D(3; 4), является ромбом, и вычислите его площадь.

Найдём длины сторон по координатам вершин:

\(AB=\sqrt{(5-2)^2+(2-1)^2}=\sqrt{10}\).

\(BC=\sqrt{(6-5)^2+(5-2)^2}=\sqrt{10}\).

\(CD=\sqrt{(3-6)^2+(4-5)^2}=\sqrt{10}\).

\(DA=\sqrt{(2-3)^2+(1-4)^2}=\sqrt{10}\).

Все четыре стороны равны, следовательно, ABCD — ромб.

Площадь параллелограмма, а значит и ромба, равна модулю определителя векторов \(\overrightarrow{AB}=(3;1)\) и \(\overrightarrow{AD}=(1;3)\):

\(S=|3\cdot3-1\cdot1|=8\).

Ответ: ABCD — ромб; его площадь равна 8 квадратным единицам.