1. В ромбе ABCD угол B тупой. На стороне AD взята точка K, BK ⟂ AD. Прямые BK и AC пересекаются в точке O, AC = 2BK. Найдите угол AOB.

Пусть сторона ромба равна a, а острый угол A равен α. Тогда в прямоугольном треугольнике ABK катет BK = a sin α, а диагональ AC = 2a cos(α/2).

По условию 2a cos(α/2) = 2a sin α. Используя sin α = 2 sin(α/2) cos(α/2), получаем sin(α/2) = 1/2, значит, α = 60°.

Расположим A=(0,0), AD направим горизонтально. Тогда при стороне 1 получаем B=(1/2, √3/2), K=(1/2,0), C=(3/2,√3/2). Точка O — пересечение AC и вертикальной прямой BK; поэтому O=(1/2,√3/6).

Векторы OA=(-1/2,-√3/6) и OB=(0,√3/3) образуют угол 120°.

Ответ: ∠AOB = 120°.