4. Некая прямая, параллельная основанию MK равнобедренного треугольника MPK, пересекает стороны MP и PK в точках B и C соответственно. Точка A делит отрезок MK в отношении 1 : 3, считая от точки M; BC = 2AM. Найдите угол MAB.

Пусть MK = L. Так как A делит MK в отношении MA:AK = 1:3, то AM = L/4.

Поскольку BC ∥ MK, треугольники PBC и PMK подобны. Поэтому BC/MK = PB/PM. Из BC = 2AM получаем BC = L/2, значит, PB/PM = 1/2: точка B — середина MP.

Треугольник MPK равнобедренный с основанием MK, поэтому медиана из вершины P к основанию перпендикулярна MK. Следовательно, прямая через середину MP, параллельная MK, пересекает MP в B так, что AB ⟂ AM: отрезок AB вертикален относительно основания MK.

Ответ: ∠MAB = 90°.