5. В ромбе ABCD O — точка пересечения диагоналей, OM, OK, OE — перпендикуляры, опущенные на стороны AB, BC, CD соответственно. Докажите, что OM = OK, и найдите сумму углов MOB и COE.

Диагональ BD ромба является осью симметрии: она переводит сторону AB в BC, а точку O оставляет на месте. Поэтому расстояния от O до этих сторон равны: OM = OK.

Кроме того, диагональ AC перпендикулярна BD и делит угол ромба пополам. Обозначим острый угол между диагоналями и сторонами AB и BC через φ. Так как OM ⟂ AB, угол MOB равен 90° − φ. Аналогично, OE ⟂ CD, а угол между CD и диагональю AC равен φ, поэтому ∠COE = 90° − φ.

Здесь вторая величина в общем случае не определяется единственным числом: сумма углов равна 180° − 2φ и зависит от формы ромба. Следовательно, по данным условия можно доказать OM = OK, но найти численное значение суммы ∠MOB + ∠COE нельзя.

Ответ: OM = OK; численное значение суммы углов без дополнительного условия о величине угла ромба определить невозможно.