1°. В трапеции ABCD на большем основании AD взята точка E. Известно, что ∠ABC = 130°, ∠BCE = 50°. Докажите, что отрезки AC и BE имеют общую середину.

Пусть основания трапеции параллельны: AB? Нет, по условию основания AD и BC, поэтому AD ∥ BC. Опустим из B и C перпендикуляры на AD. Обозначим высоту трапеции через h.

1. Так как ∠ABC = 130°, острый угол между BA и направлением основания BC равен 180° − 130° = 50°. Следовательно, горизонтальное смещение от A до проекции B на AD равно h·ctg 50°.
2. Из ∠BCE = 50° и BC ∥ AD следует, что горизонтальное расстояние от C до E также равно h·ctg 50°.
3. Значит, если координатно положить A = (0, 0), B = (x, h), C = (x + c, h), то x = h·ctg 50°, а координата точки E равна x + c − h·ctg 50° = c. Здесь c = BC.
4. Тогда середина AC имеет координаты ((x + c)/2, h/2), а середина BE — ((x + c)/2, h/2). Они совпадают.

Ответ: отрезки AC и BE имеют общую середину.