3. Ось симметрии прямоугольника ABCD пересекает его стороны BC и AD в точках M и K соответственно. На стороне AB взята точка P, на стороне CD — точка T, причем PM ∥ KT, PM = PK. а) Определите вид выпуклого четырехугольника PMTK. б) Докажите, что расстояние от точки пересечения диагоналей четырехугольника PMTK до точки C равно PK.

Пусть стороны прямоугольника имеют координаты A(0, 0), B(0, h), C(w, h), D(w, 0). Его ось симметрии, пересекающая BC и AD, проходит через их середины, поэтому M(w/2, h), K(w/2, 0). Положим P = (0, p), T = (w, t).

а) Из PM ∥ KT следует, сравнивая их горизонтальные и вертикальные составляющие, что t = h − p. Условие PM = PK даёт

√((w/2)² + (h − p)²) = √((w/2)² + p²),

откуда h − p = p, то есть p = h/2 и t = h/2. Следовательно, PM = MT = TK = KP: все стороны четырёхугольника PMTK равны. Значит, PMTK — ромб.

б) Диагонали ромба пересекаются и делятся пополам. Здесь диагонали PT и MK пересекаются в точке O = (w/2, h/2). Тогда

OC = √((w/2)² + (h/2)²) = PK,

поскольку PK — отрезок между (0, h/2) и (w/2, 0) и имеет ту же длину.

Ответ: а) PMTK — ромб; б) расстояние от точки пересечения его диагоналей до C равно PK.