1. В треугольнике ABC дано: ∠A = 45°, ∠B = 30°, BC = 2√2. Найти AC.

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой синусов, которая гласит, что отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла постоянно для всех сторон и углов треугольника. Формула теоремы синусов выглядит так: \[\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}\] Где \(a\), \(b\), \(c\) - стороны треугольника, а \(A\), \(B\), \(C\) - противолежащие им углы. 1. **Найдем угол C:** Сумма углов треугольника равна 180°. Значит, ∠C = 180° - ∠A - ∠B = 180° - 45° - 30° = 105° 2. **Применим теорему синусов:** Мы хотим найти сторону AC, которую обозначим как \(b\). У нас есть сторона BC, которую обозначим как \(a\), и ее противолежащий угол A. Таким образом: \[\frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B}\] Подставим известные значения: \[\frac{2\sqrt{2}}{\sin 45^\circ} = \frac{AC}{\sin 30^\circ}\] 3. **Выразим AC и найдем его значение:** Используем значения синусов: \(\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\) и \(\sin 30^\circ = \frac{1}{2}\) \[\frac{2\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{AC}{\frac{1}{2}}\] \[2\sqrt{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{AC}{\frac{1}{2}}\] \[4 = \frac{AC}{\frac{1}{2}}\] \[AC = 4 \cdot \frac{1}{2}\] \[AC = 2\] **Ответ:** AC = 2.