1. В треугольнике ABC известно, что AB = 12, BC = 15, sin ∠BAC = 4/7. Найдите S△ABC.

Обозначим A = ∠BAC. По теореме синусов для C = ∠ACB: sin C = AB · sin A / BC = 12 · (4/7) / 15 = 16/35.

Угол A острый или тупой, но тупой A невозможен: тогда sin C = 16/35 и острый C дали бы A + C > 180°. Значит, A острый. По той же причине C острый. Поэтому cos A = √33/7 и cos C = √969/35.

Тогда sin B = sin(A + C) = sin A cos C + cos A sin C = (4√969 + 16√33)/245.

Площадь через стороны AB и BC и угол между ними B:

S△ABC = 1/2 · 12 · 15 · sin B = 18(√969 + 4√33)/49.

Ответ: S△ABC = 18(√969 + 4√33)/49.