1. В треугольнике ABC проведены медиана BM и высота BH. Известно, что AC = 8 и BC = BM. Найдите AH.

Так как BM — медиана, точка M — середина стороны AC:

\(AM=MC=\frac{AC}{2}=4\).

Поскольку \(BH\) — высота, \(BH\perp AC\). Поэтому треугольники \(BHC\) и \(BHM\) прямоугольные.

По условию \(BC=BM\). В этих треугольниках общий катет \(BH\), а гипотенузы равны, значит, \(HC=HM\).

Точка H равноудалена от C и M, следовательно, H — середина отрезка \(CM\). Тогда

\(CH=HM=\frac{CM}{2}=2\).

Так как \(AH=AC-CH\), получаем:

\(AH=8-2=6\).

Ответ: 6.