4. Сторона равностороннего треугольника равна 14√3. Найдите медиану этого треугольника.

Решение:

В равностороннем треугольнике медиана является также высотой и биссектрисой.

Пусть сторона равностороннего треугольника равна \( a = 14\sqrt{3} \).

Медиана, проведенная к основанию, делит его пополам. Длина основания равна \( a \), значит, отрезок, к которому проведена медиана, равен \( \frac{a}{2} = \frac{14\sqrt{3}}{2} = 7\sqrt{3} \).

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный медианой, половиной стороны и стороной равностороннего треугольника. По теореме Пифагора:

\( m^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 = a^2 \), где \( m \) — длина медианы.

\( m^2 = a^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2 = a^2 - \frac{a^2}{4} = \frac{3a^2}{4} \).

\( m = \sqrt{\frac{3a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{3}}{2} \).

Подставим значение \( a \):

\( m = \frac{(14\sqrt{3})\sqrt{3}}{2} = \frac{14 \cdot 3}{2} = \frac{42}{2} = 21 \).

Ответ: 21.