1. В треугольнике ABC сторона AC = 8, BM — медиана, BH — высота, BC = BM. Найдите длину отрезка AH.

Так как BM — медиана, M — середина AC, поэтому AM = MC = 4.

Пусть AH = x. Тогда HC = AC − AH = 8 − x, а MH = AH − AM = x − 4.

Треугольники BHC и BHM прямоугольные и имеют общий катет BH. Из условия BC = BM следует равенство их вторых катетов: HC = MH.

Составим уравнение: 8 − x = x − 4, откуда 2x = 12 и x = 6.

Ответ: 6.