3. В треугольнике ABC сторона AC = 24, BM — медиана, BH — высота, BC = BM. Найдите длину отрезка AH.

Так как BM — медиана, M — середина AC, поэтому AM = MC = 12.

Пусть AH = x. Тогда HC = 24 − x, а MH = x − 12.

Треугольники BHC и BHM прямоугольные и имеют общий катет BH. Из условия BC = BM следует HC = MH.

Решаем уравнение: 24 − x = x − 12, откуда 2x = 36 и x = 18.

Ответ: 18.