1. В треугольнике ABC угол C равен 90°, AB = 4a, \(\sin A = \frac{\sqrt{19}}{10}\). Найдите AC.

Так как угол C прямой, сторона AB — гипотенуза.

По определению синуса:

\[\sin A=\frac{BC}{AB}\]

Тогда

\[BC=AB\cdot\sin A=4a\cdot\frac{\sqrt{19}}{10}=\frac{2a\sqrt{19}}{5}.\]

По теореме Пифагора:

\[AC^2=AB^2-BC^2=16a^2-\left(\frac{2a\sqrt{19}}{5}\right)^2\]

\[AC^2=16a^2-\frac{76a^2}{25}=\frac{324a^2}{25}.\]

Следовательно, при \(a>0\):

\[AC=\frac{18a}{5}.\]

Ответ: \(\frac{18a}{5}\).