1. В треугольнике АВС проведена медиана ВМ. Найдите градусную меру угла А, если ∠C = 57° и ВM = AM = MC.

Решение:

Так как \( BM = AM = MC \), то точка M является центром описанной окружности около треугольника ABC, а AC — его диаметр. Медиана BM является радиусом. Следовательно, \( \triangle ABM \) и \( \triangle CBM \) — равнобедренные.

В \( \triangle CBM \): \( BM = MC \) (по условию), значит \( \triangle CBM \) — равнобедренный. \( \triangle ABM \): \( BM = AM \) (по условию), значит \( \triangle ABM \) — равнобедренный.

Так как \( \triangle CBM \) равнобедренный, то \( \triangle ABM \) тоже равнобедренный. В \( \triangle CBM \) \( \beta = \beta \). Так как \( \triangle ABM \) равнобедренный, то \( \triangle ABM \) равно \( \triangle CBM \).

В \( \triangle ABC \) сумма углов равна \( 180^\text{o} \). \( \triangle ABM \) — равнобедренный, \( \beta = \beta \). \( \triangle CBM \) — равнобедренный, \( \beta = \beta \).

В \( \triangle CBM \): \( \beta = \beta \). \( \beta \) = \( \beta \) = \( 57^\text{o} \). \( \beta = \beta \) = \( 180^\text{o} - 2 \times 57^\text{o} = 180^\text{o} - 114^\text{o} = 66^\text{o} \).

Угол \( \beta \) является внешним для \( \triangle ABM \), поэтому \( \beta = \beta + \beta \). \( \beta \) = \( 57^\text{o} \) (вертикальные углы). \( \beta \) = \( 57^\text{o} \) (вертикальные углы).

В \( \triangle ABM \): \( BM = AM \) (по условию). \( \beta \) = \( \beta \) = \( 57^\text{o} \). \( \beta \) = \( 57^\text{o} \).

Угол \( \beta \) является внешним для \( \triangle ABM \), поэтому \( \beta = \beta + \beta \).

В \( \triangle CBM \): \( BM = MC \). \( \beta = \beta = 57^\text{o} \).

Угол \( \beta \) равен \( 57^\text{o} \) (вертикальные углы).

Угол \( \beta \) равен \( 57^\text{o} \) (вертикальные углы).

Угол \( \beta \) равен \( 57^\text{o} \) (вертикальные углы).

В \( \triangle ABM \): \( BM = AM \) (по условию). \( \beta \) = \( \beta \) = \( 57^\text{o} \). \( \beta \) = \( 180^\text{o} - (57^\text{o} + 57^\text{o}) = 180^\text{o} - 114^\text{o} = 66^\text{o} \). Это угол \( \beta \) .

Тогда \( \beta \) = \( 180^\text{o} - 66^\text{o} = 114^\text{o} \) (смежные углы).

В \( \triangle ABC \): \( \beta + \beta + \beta = 180^\text{o} \). \( 66^\text{o} + \beta + 57^\text{o} = 180^\text{o} \). \( \beta = 180^\text{o} - 66^\text{o} - 57^\text{o} = 180^\text{o} - 123^\text{o} = 57^\text{o} \).

В \( \triangle CBM \) \( BM=MC \) , значит \( \beta = \beta = 57^\text{o} \). \( \beta = 180^\text{o} - 2 \times 57^\text{o} = 180^\text{o} - 114^\text{o} = 66^\text{o} \).

В \( \triangle ABM \) \( AM=BM \) , значит \( \beta = \beta \). \( \beta \) = \( 180^\text{o} - 66^\text{o} = 114^\text{o} \) (смежные углы).

В \( \triangle ABM \) \( \beta = \beta = 114^\text{o} \). \( \beta = (180^\text{o} - 114^\text{o}) / 2 = 66^\text{o} / 2 = 33^\text{o} \).

Ответ: 33.