4. В треугольнике АВС проведена биссектриса АК. Найдите градусную меру угла В, если ∠C = 15° и АК = СК.

Решение:

В \( \triangle AKC \) \( AK = CK \) (по условию), значит \( \triangle AKC \) — равнобедренный.

\( \beta = \beta = 15^\text{o} \). \( \beta = 180^\text{o} - (15^\text{o} + 15^\text{o}) = 180^\text{o} - 30^\text{o} = 150^\text{o} \).

\( \beta \) является внешним углом \( \triangle ABK \), поэтому \( \beta = \beta + \beta \).

\( \beta \) = \( 150^\text{o} \) (как смежный с \( \beta \) в \( \triangle AKC \)).

\( AK \) — биссектриса, значит \( \beta = \beta \).

В \( \triangle ABK \): \( \beta + \beta + \beta = 180^\text{o} \). \( \beta + \beta + 150^\text{o} = 180^\text{o} \). \( 2\beta = 30^\text{o} \). \( \beta = 15^\text{o} \).

\( \beta \) = \( 15^\text{o} \).

\( \beta \) = \( 2 \times \beta = 2 \times 15^\text{o} = 30^\text{o} \).

\( \beta \) = \( 180^\text{o} - (\beta + \beta) = 180^\text{o} - (30^\text{o} + 15^\text{o}) = 180^\text{o} - 45^\text{o} = 135^\text{o} \).

Ответ: 135.