1. В окружность с центром в точке О вписан равносторонний треугольник. Расстояние от точки О до сторон треугольника равно 5√3. Найдите сторону треугольника.

Решение:

В равностороннем треугольнике центр вписанной окружности (центр тяжести) делит высоту в отношении 2:1. Расстояние от центра до стороны — это радиус вписанной окружности \( r \). Высота \( h = 3r \).

1. Дано: \( r = 5\sqrt{3} \).
2. Найдём высоту: \( h = 3 \cdot r = 3 \cdot 5\sqrt{3} = 15\sqrt{3} \).
3. Связь высоты и стороны равностороннего треугольника: \( h = \frac{a\sqrt{3}}{2} \), где \( a \) — сторона треугольника.
4. Выразим сторону: \( a = \frac{2h}{\sqrt{3}} = \frac{2 \cdot 15\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 30 \).

Ответ: 30.