1. В окружность с центром в точке О вписан равносторонний треугольник. Расстояние от точки О до сторон треугольника равно √3. Найдите сторону треугольника.

Задание 1

Дано:

• Равносторонний треугольник, вписанный в окружность.
• Расстояние от центра О до стороны треугольника \( r = \sqrt{3} \).

Найти: сторону треугольника \( a \).

Решение:

В равностороннем треугольнике центр вписанной окружности (точка О) совпадает с центром описанной окружности и является точкой пересечения медиан, биссектрис и высот. Расстояние от центра до стороны треугольника — это радиус вписанной окружности \( r \).

В равностороннем треугольнике высота \( h \) связана с радиусом вписанной окружности соотношением: \( h = 3r \).

Следовательно, высота треугольника равна:

\[ h = 3 \cdot \sqrt{3} = 3\sqrt{3} \]

Высота равностороннего треугольника также связана со стороной \( a \) формулой:

\[ h = \frac{a\sqrt{3}}{2} \]

Приравняем два выражения для высоты:

\[ \frac{a\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3} \]

Умножим обе части на 2:

\[ a\sqrt{3} = 6\sqrt{3} \]

Разделим обе части на \( \sqrt{3} \):

\[ a = 6 \]

Ответ: сторона треугольника равна 6.