2) В треугольнике АВС проведена медиана ВМ. Найдите градусную меру угла А, если ∠C = 62° и BM = AM = MC.

Решение:

В треугольнике АВС проведена медиана ВМ. По условию BM = AM = MC. Это означает, что точка М является центром описанной окружности треугольника АВС, а ВМ, АМ, МС — радиусы этой окружности.

• 
  

  Рассмотрим треугольник ВМС. Так как BM = MC, он является равнобедренным. Следовательно, ∠MBC = ∠MCB. По условию ∠C = 62°, значит ∠MBC = 62°.

  
  


• 
  

  Рассмотрим треугольник АВМ. Так как BM = AM, он является равнобедренным. Угол ∠BMC является внешним углом треугольника АВМ. Углы при основании ∠MBA и ∠MAB (который равен ∠A) равны.

  
  


• 
  

  Найдем ∠BMC. Сумма углов в треугольнике АВС равна 180°. В треугольнике ВМС:

  
  

  ∠BMC = 180° - (∠MBC + ∠MCB) = 180° - (62° + 62°) = 180° - 124° = 56°.

  
  


• 
  

  Теперь рассмотрим треугольник АВМ. Угол ∠BMC является смежным с ∠AMB. Значит, ∠AMB = 180° - ∠BMC = 180° - 56° = 124°.

  
  


• 
  

  В равнобедренном треугольнике АВМ углы при основании равны:

  
  

  ∠MBA = ∠MAB = (∠AMB - ∠MBA) / 2 - это ошибка. Правильно:

  
  

  ∠MBA = ∠MAB = (180° - ∠AMB) / 2 = (180° - 124°) / 2 = 56° / 2 = 28°.

  
  


• 
  

  Таким образом, ∠A = 28°.

  
  

Ответ: 28°