1. В треугольнике АВС сумма углов А и В равна 90°. Прямая BD перпендикулярна плоскости АВС. Докажите, что прямая CD перпендикулярна прямой АС.

Решение:

1. Так как \( BD \) перпендикулярна плоскости \( ABC \), то \( BD \) перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку \( B \). Следовательно, \( BD \) перпендикулярна \( BC \) и \( AB \).

2. В треугольнике \( ABC \) сумма углов \( A \) и \( B \) равна \( 90^{\circ} \). Так как сумма углов треугольника равна \( 180^{\circ} \), то угол \( C \) равен \( 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ} \). Значит, \( BC \) перпендикулярна \( AC \).

3. Мы имеем \( BD \) перпендикулярную плоскости \( ABC \) и \( BC \) перпендикулярную \( AC \). По признаку перпендикулярности прямой и плоскости, если одна из двух пересекающихся прямых, лежащих в одной плоскости, перпендикулярна к другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны. Плоскость \( BCD \) и плоскость \( ABC \) перпендикулярны.

4. Так как \( CD \) лежит в плоскости \( BCD \), а плоскости \( BCD \) и \( ABC \) перпендикулярны, то \( CD \) перпендикулярна любой прямой в плоскости \( ABC \), проходящей через точку пересечения \( C \). Так как \( AC \) лежит в плоскости \( ABC \) и проходит через \( C \), то \( CD \) перпендикулярна \( AC \).

Доказано.