5. Решите неравенство \( \sin x \le \frac{\sqrt{3}}{2} \)

Решение:

На единичной окружности отметим значения \( x \), для которых \( \sin x = \frac{\sqrt{3}}{2} \). Это углы \( \frac{\pi}{3} \) и \( \frac{2\pi}{3} \).

Так как \( \sin x \) — это ордината точки на единичной окружности, то неравенство \( \sin x \le \frac{\sqrt{3}}{2} \) выполняется для тех дуг, ординаты точек которых меньше или равны \( \frac{\sqrt{3}}{2} \).

Это соответствует промежуткам:

• \( [\frac{2\pi}{3} + 2\pi k; \frac{7\pi}{3} + 2\pi k] \), где \( k \) — целое число.

Ответ: \( x \in [\frac{2\pi}{3} + 2\pi k; \frac{7\pi}{3} + 2\pi k], k \in \mathbb{Z} \).