1. В треугольнике АВС углы ВАС и ВСА равны, их биссектрисы AA1 и СС1 пересекаются в точке О. Докажите, что треугольник АОС равнобедренный.

1. Доказательство:

1. Углы при основании: В равнобедренном треугольнике ABC углы при основании равны, то есть $$BAC = $$BCA.
2. Свойства биссектрис: AA1 и CC1 — биссектрисы углов BAC и BCA соответственно. По определению биссектрисы, они делят углы пополам: $$OAC = $$BAC / 2 и $$OCA = $$BCA / 2.
3. Равенство углов: Поскольку $$BAC = $$BCA, то и их половины равны: $$OAC = $$OCA.
4. Равнобедренный треугольник: В треугольнике AOC углы OAC и OCA равны. Следовательно, треугольник AOC является равнобедренным (по признаку равнобедренного треугольника), так как его углы при основании AC равны.

Вывод: Треугольник AOC равнобедренный.