4. Разность длин двух сторон равнобедренного тупоугольного треугольника равна 4 см, а его периметр равен 19 см. Найдите длины сторон треугольника.

4. Решение:

1. Обозначения: Пусть стороны равнобедренного треугольника будут a, a и b.
2. Условие тупоугольности: В равнобедренном треугольнике тупым может быть только угол при вершине, противолежащий основанию. Это означает, что основание является самой длинной стороной, и она противолежит тупому углу.
3. Периметр: Периметр равен 19 см, значит, $2a\; +\; b\; =\; 19$.
4. Разность сторон: Разность длин двух сторон равна 4 см. Возможны два случая:
   • Случай 1: b - a = 4 (основание длиннее боковой стороны).
   • Случай 2: a - b = 4 (боковая сторона длиннее основания).
5. Анализ случаев:
   • Случай 1: b - a = 4. Из этого следует, что $b\; =\; a\; +\; 4$. Подставим это в уравнение периметра: $2a\; +\; (a\; +\; 4)\; =\; 19$ $$$3a\; +\; 4\; =\; 19$ $$$3a\; =\; 15$ $$$a\; =\; 5$ см. Тогда $b\; =\; 5\; +\; 4\; =\; 9$ см. Стороны: 5 см, 5 см, 9 см. Проверим условие тупоугольности: в равнобедренном треугольнике, если квадрат основания больше суммы квадратов боковых сторон, то угол при вершине тупой. $9^2\; =\; 81,$ 5^2\; +\; 5^2\; =\; 25\; +\; 25\; =\; 50.\; Так\; как\; 81\; >\; 50,\; то\; угол\; при\; вершине\; тупой.\; Этот\; случай\; подходит.$$
   • Случай 2: a - b = 4. Из этого следует, что $a\; =\; b\; +\; 4$. Подставим это в уравнение периметра: $2(b\; +\; 4)\; +\; b\; =\; 19$ $$$2b\; +\; 8\; +\; b\; =\; 19$ $$$3b\; +\; 8\; =\; 19$ $$$3b\; =\; 11$ $$$b\; =\; 11/3$ см. Тогда $a\; =\; 11/3\; +\; 4\; =\; 11/3\; +\; 12/3\; =\; 23/3$ см. Стороны: 23/3 см, 23/3 см, 11/3 см. Проверим условие тупоугольности: $(23/3)^2\; +\; (23/3)^2\; =\; 2\; *\; (529/9)\; =\; 1058/9.$ (11/3)^2\; =\; 121/9.\; Поскольку\; 1058/9\; >\; 121/9,\; углы\; при\; основании\; острые.\; Чтобы\; треугольник\; был\; тупоугольным,\; тупой\; угол\; должен\; быть\; при\; вершине.\; Это\; происходит,\; когда\; квадрат\; основания\; больше\; суммы\; квадратов\; боковых\; сторон.\; В\; данном\; случае,\; основание\; (11/3)\; является\; самой\; короткой\; стороной,\; и\; углы\; при\; основании\; будут\; тупыми,\; что\; противоречит\; условию\; равнобедренного\; треугольника\; (один\; тупой\; угол).$$

Ответ: Длины сторон треугольника: 5 см, 5 см и 9 см.