6.В треугольнике АВС внешние углы при вершинах А и С равны. Найдите длину биссектрисы BD, если периметр треугольника АВС равен 72 см, а периметр треугольника ABD равен 48 см.

6. Решение:

1. Свойство внешних углов: Если внешние углы при вершинах А и С равны, то и внутренние углы при этих вершинах равны: $$A = C. Это означает, что треугольник ABC является равнобедренным с основанием AC, и, следовательно, $AB\; =\; BC$.
2. Обозначения: Пусть $AB\; =\; BC\; =\; x.\; Тогда$ AC\; =\; 72\; -\; 2x\; (периметр\; ABC).$$
3. Биссектриса BD: BD является биссектрисой угла B. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является также медианой и высотой. Следовательно, D является серединой AC, и $AD\; =\; DC\; =\; AC\; /\; 2\; =\; (72\; -\; 2x)\; /\; 2\; =\; 36\; -\; x$. Также BD перпендикулярна AC.
4. Периметр треугольника ABD: $P\_\{ABD\}\; =\; AB\; +\; BD\; +\; AD\; =\; 48$.
5. Подставляем известные значения: $x\; +\; BD\; +\; (36\; -\; x)\; =\; 48.$
6. Упрощаем: $36\; +\; BD\; =\; 48.$
7. Находим BD: $BD\; =\; 48\; -\; 36\; =\; 12$ см.

Ответ: Длина биссектрисы BD равна 12 см.