5. В равнобедренном треугольнике ABC угол В - тупой. Высота BD равна 4 см. Найдите периметр треугольника АВС, если периметр треугольника ABD равен 12 см.

5. Решение:

1. Обозначения: $AB\; =\; BC$ (треугольник равнобедренный), $$B > 90°. BD - высота, $BD\; =\; 4\; см.\; Периметр$ ABD\; =\; AB\; +\; BD\; +\; AD\; =\; 12\; см.$$
2. Высота в равнобедренном треугольнике: В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой и биссектрисой. Однако, в данном случае угол B тупой, поэтому высота BD опущена на сторону AC, и D является точкой на AC. BD является высотой к основанию AC.
3. Рассмотрим треугольник ABD: $AB\; +\; 4\; +\; AD\; =\; 12,\; следовательно,$$AB\; +\; AD\; =\; 8$.
4. Рассмотрим треугольник BDC: $BC\; =\; AB$, $BD\; =\; 4.\; Угол\; BDC\; -\; прямой\; (90°).$
5. Свойства тупоугольного равнобедренного треугольника: В тупоугольном равнобедренном треугольнике тупой угол находится при вершине (угол B). Высота BD, проведенная к основанию AC, делит его пополам, то есть $AD\; =\; DC$.
6. Связь между AD и AB: Из $AB\; +\; AD\; =\; 8,\; мы\; имеем$$AD\; =\; 8\; -\; AB$.
7. Применим теорему Пифагора к треугольнику ABD: $AB^2\; =\; BD^2\; +\; AD^2$.
8. Подставим известные значения: $AB^2\; =\; 4^2\; +\; (8\; -\; AB)^2$ $$$AB^2\; =\; 16\; +\; 64\; -\; 16AB\; +\; AB^2$.
9. Упростим уравнение: $0\; =\; 80\; -\; 16AB.$
10. Найдем AB: $16AB\; =\; 80$ $$$AB\; =\; 5$ см.
11. Найдем AD: $AD\; =\; 8\; -\; AB\; =\; 8\; -\; 5\; =\; 3$ см.
12. Найдем BC: $BC\; =\; AB\; =\; 5$ см.
13. Найдем AC: $AC\; =\; 2\; *\; AD\; =\; 2\; *\; 3\; =\; 6$ см.
14. Найдем периметр треугольника ABC: $P\_\{ABC\}\; =\; AB\; +\; BC\; +\; AC\; =\; 5\; +\; 5\; +\; 6\; =\; 16$ см.

Ответ: Периметр треугольника ABC равен 16 см.