1. В выпуклом четырехугольнике ABCD известно, что AB=BC, AD=CD, ∠B=55°, ∠D=117°. Найдите угол А. Ответ дайте в градусах.

Решение:

• Данный четырехугольник ABCD является равнобедренной трапецией, так как AB = BC и AD = CD.
• Сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне трапеции, равна 180°.
• Следовательно, ∠A + ∠B = 180° и ∠C + ∠D = 180°.
• Так как ∠B = 55°, то ∠A = 180° - 55° = 125°.
• Проверка: так как ∠D = 117°, то ∠C = 180° - 117° = 63°. Это противоречит тому, что ABCD - равнобедренная трапеция.
• Рассмотрим другое свойство: в равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны.
• Значит, ∠A = ∠C и ∠B = ∠D. Но ∠B = 55°, а ∠D = 117°, что невозможно.
• Рассмотрим случай, когда ABCD - не равнобедренная трапеция, а просто четырехугольник с равными смежными сторонами, которые образуют два равных треугольника: ΔABC и ΔADC.
• В этом случае, чтобы найти угол А, нужно сложить углы ∠BAC и ∠CAD.
• В равнобедренном треугольнике ABC (AB=BC) углы при основании равны: ∠BAC = ∠BCA = (180° - 55°)/2 = 125°/2 = 62.5°.
• В равнобедренном треугольнике ADC (AD=CD) углы при основании равны: ∠CAD = ∠ACD = (180° - 117°)/2 = 63°/2 = 31.5°.
• Тогда угол А = ∠BAC + ∠CAD = 62.5° + 31.5° = 94°.

Ответ: 94