1 вариант. 2) Из точки M к плоскости α проведены две наклонные, длины которых равны 18 см и 2√109 см. Их проекции на эту плоскость относятся как 3 : 4. Найдите расстояние от точки M до плоскости α.

Обозначим через O основание перпендикуляра из M на плоскость α, а через h — расстояние от M до этой плоскости. Проекции наклонных обозначим 3x и 4x: более короткой наклонной соответствует более короткая проекция.

По теореме Пифагора для двух прямоугольных треугольников:

\(h^2 + (3x)^2 = 18^2 = 324\).

\(h^2 + (4x)^2 = (2\sqrt{109})^2 = 436\).

Вычтем первое равенство из второго: \(7x^2 = 112\), откуда \(x^2 = 16\).

Тогда \(h^2 = 324 - 9 \cdot 16 = 180\), значит, \(h = 6\sqrt{5}\) см.

Ответ: \(6\sqrt{5}\) см.