2 вариант. 1) Дано: ΔABC, ∠C = 90°, ∠A = 30°, AC = 8, MC ⟂ (ABC). Найти расстояние: а) от точки C до AB; б) от точки M до прямой AB.

а) Расстояние от C до AB.

Так как \(\angle C = 90°\), отрезок AB — гипотенуза. Из \(\angle A = 30°\) и \(AC = 8\) получаем:

\(BC = AC \cdot \tan 30° = \frac{8}{\sqrt{3}}\), а \(AB = \frac{AC}{\cos 30°} = \frac{16}{\sqrt{3}}\).

Обозначим через H основание перпендикуляра из C на AB. Площадь треугольника можно выразить двумя способами: \(\frac{AC \cdot BC}{2} = \frac{AB \cdot CH}{2}\). Поэтому \(CH = \frac{AC \cdot BC}{AB} = 4\).

б) Расстояние от M до AB.

Поскольку MC перпендикулярен плоскости ABC, он перпендикулярен CH. Треугольник MCH прямоугольный, причём \(MC = 4\sqrt{3}\):

\(MH^2 = MC^2 + CH^2 = (4\sqrt{3})^2 + 4^2 = 48 + 16 = 64\), поэтому \(MH = 8\).

Ответ: а) 4; б) 8.