1 вариант. №4. ДРКТ — равнобедренный, в него вписана окружность, РК = PT. 1) PH = 4,5 см, TH = 2,5 см. Найдите РАРКТ. 2) РАРКТ = 20 см, PH = 6 см. Найдите длину основания КТ.

Решение:

1. Найдите РАРКТ:

В равнобедренном треугольнике ДРКТ, с основанием КТ, PH — высота и медиана. Значит, H — середина КТ, и \( KH = HT = 2,5 \) см. Тогда основание \( KT = KH + HT = 2,5 + 2,5 = 5 \) см.

PH — высота, значит, \( \angle PHK = 90° \).

В прямоугольном треугольнике ДРНТ:

• \( PT = PK \) (боковые стороны равнобедренного треугольника).
• \( PT^2 = PH^2 + HT^2 = (4,5)^2 + (2,5)^2 = 20,25 + 6,25 = 26,5 \).
• \( PT = \sqrt{26,5} \) см.
• \( PK = PT = \sqrt{26,5} \) см.

Периметр \( P_{ДРКТ} = PK + PT + KT = \sqrt{26,5} + \sqrt{26,5} + 5 = 2\sqrt{26,5} + 5 \) см.

Примечание: В условии задачи, возможно, дана неверная информация. Если PH = 4.5 и TH = 2.5, то PH не может быть высотой. Если PH - высота, а TH - часть основания, то K, H, T лежат на одной прямой. Если TH=2.5, то KH=2.5, KT=5. Тогда PK=PT. В треугольнике PHT, PT^2 = PH^2 + HT^2 = 4.5^2 + 2.5^2 = 20.25 + 6.25 = 26.5. PT = sqrt(26.5). P = 2 * sqrt(26.5) + 5.

2. Найдите длину основания КТ:

Дано: \( P_{ДРКТ} = 20 \) см, \( PH = 6 \) см.

Так как треугольник равнобедренный, \( PK = PT \). PH — высота, значит, H — середина КТ, \( KH = HT \). Пусть \( HT = x \), тогда \( KT = 2x \).

\( PK = PT \), следовательно, \( PK + PT + KT = 20 \) => \( 2PT + 2x = 20 \) => \( PT + x = 10 \) => \( PT = 10 - x \).

В прямоугольном треугольнике ДРНТ:

\( PT^2 = PH^2 + HT^2 \)

\( (10 - x)^2 = 6^2 + x^2 \)

\( 100 - 20x + x^2 = 36 + x^2 \)

\( 100 - 20x = 36 \)

\( 20x = 100 - 36 \)

\( 20x = 64 \)

\( x = \frac{64}{20} = \frac{16}{5} = 3,2 \) см.

Тогда длина основания \( KT = 2x = 2 \times 3,2 = 6,4 \) см.

Ответ: 1) 2√26,5 + 5 см (если условие корректно). 2) 6,4 см.