2 вариант. №2. В треугольник ДАВС вписана окружность. 1) ∠ABC = 72°, ∠CAB = 44°. Найдите ∠COB, ∠AOB, ∠AOC. 2) AH = 4 см, BM = 6 см, CK = 8 см. Найдите P ∆ABC.

Решение:

1. Нахождение углов:

1. Сначала найдём угол ∠BAC: \( \angle BAC = 180° - (\angle ABC + \angle ACB) \). Для этого нужно найти ∠ACB. В данной задаче ∠ACB не дан. Предположим, что ∠ACB = 180° - 72° - 44° = 64°.
2. Точка О является центром вписанной окружности, значит, она лежит на биссектрисах углов треугольника.
3. Рассмотрим треугольник ∆AOB. Углы \( \angle OAB = \frac{1}{2} \angle BAC = \frac{1}{2} \cdot 44° = 22° \) и \( \angle OBA = \frac{1}{2} \angle ABC = \frac{1}{2} \cdot 72° = 36° \).
4. Тогда \( \angle AOB = 180° - (\angle OAB + \angle OBA) = 180° - (22° + 36°) = 180° - 58° = 122° \).
5. Аналогично найдём \( \angle AOC \): \( \angle OAC = \frac{1}{2} \angle BAC = 22° \) и \( \angle OCA = \frac{1}{2} \angle ACB = \frac{1}{2} \cdot 64° = 32° \).
6. Тогда \( \angle AOC = 180° - (\angle OAC + \angle OCA) = 180° - (22° + 32°) = 180° - 54° = 126° \).
7. Найдём \( \angle COB \): \( \angle OCB = \frac{1}{2} \angle ACB = 32° \) и \( \angle OBC = \frac{1}{2} \angle ABC = 36° \).
8. Тогда \( \angle COB = 180° - (\angle OCB + \angle OBC) = 180° - (32° + 36°) = 180° - 68° = 112° \).

2. Нахождение периметра:

AH, BM, CK — отрезки, соединяющие вершины с точками касания вписанной окружности. По свойству касательных, проведённых из одной точки, отрезки касательных равны:

• \( AH = AK = 4 \) см
• \( BM = BI = 6 \) см
• \( CK = CI = 8 \) см

Периметр треугольника — это сумма длин его сторон:

\( P_{∆ABC} = AB + BC + AC \)

\( AB = AK + KB = 4 + 6 = 10 \) см

\( BC = BI + IC = 6 + 8 = 14 \) см

\( AC = AM + MC \). Из рисунка видно, что AM, BK, CH — это отрезки от вершин до точек касания. Но в условии указаны AH, BM, CK. Если AH=4, BM=6, CK=8, то это отрезки касательных.

\( AB = AH + HB \) (если H на AB), \( BC = BI + IC \) (если I на BC), \( AC = AK + KC \) (если K на AC).

Согласно условию, AH, BM, CK — это отрезки, проведенные из вершин к точкам касания. Значит, они равны:

• \( AH = AK = 4 \) см
• \( BM = BI = 6 \) см
• \( CK = CI = 8 \) см

Стороны треугольника:

\( AB = AK + KB = 4 + 6 = 10 \) см

\( BC = BI + IC = 6 + 8 = 14 \) см

\( AC = AI + IC \) - здесь ошибка, должно быть \( AC = AK + KC \) или \( AC = AM + MC \). Если AH, BM, CK — это отрезки касательных, то:

\( AB = 4 + 6 = 10 \) см

\( BC = 6 + 8 = 14 \) см

\( AC = 4 + 8 = 12 \) см

\( P_{∆ABC} = 10 + 14 + 12 = 36 \) см

Ответ: ∠COB = 112°, ∠AOB = 122°, ∠AOC = 126° (при ∠ACB = 64°); P ∆ABC = 36 см.