2 вариант. №4. ДРКТ — равнобедренный, в него вписана окружность, РК = PT. 1) PH = 5,7 см, TH = 3,3 см. Найдите РАРКТ. 2) РАРКТ = 27 см, PH = 8 см. Найдите длину основания КТ.

Решение:

1. Найдите РАРКТ:

В равнобедренном треугольнике ДРКТ, с основанием КТ, PH — высота и медиана. Значит, H — середина КТ, и \( KH = HT = 3,3 \) см. Тогда основание \( KT = KH + HT = 3,3 + 3,3 = 6,6 \) см.

PH — высота, значит, \( \angle PHK = 90° \).

В прямоугольном треугольнике ДРНТ:

\( PT^2 = PH^2 + HT^2 = (5,7)^2 + (3,3)^2 = 32,49 + 10,89 = 43,38 \).

\( PT = \sqrt{43,38} \) см.

\( PK = PT = \sqrt{43,38} \) см.

Периметр \( P_{ДРКТ} = PK + PT + KT = \sqrt{43,38} + \sqrt{43,38} + 6,6 = 2\sqrt{43,38} + 6,6 \) см.

2. Найдите длину основания КТ:

Дано: \( P_{ДРКТ} = 27 \) см, \( PH = 8 \) см.

Так как треугольник равнобедренный, \( PK = PT \). PH — высота, значит, H — середина КТ, \( KH = HT \). Пусть \( HT = x \), тогда \( KT = 2x \).

\( PK = PT \), следовательно, \( PK + PT + KT = 27 \) => \( 2PT + 2x = 27 \) => \( PT + x = 13,5 \) => \( PT = 13,5 - x \).

В прямоугольном треугольнике ДРНТ:

\( PT^2 = PH^2 + HT^2 \)

\( (13,5 - x)^2 = 8^2 + x^2 \)

\( 182,25 - 27x + x^2 = 64 + x^2 \)

\( 182,25 - 27x = 64 \)

\( 27x = 182,25 - 64 \)

\( 27x = 118,25 \)

\( x = \frac{118,25}{27} ≈ 4,38 \) см.

Тогда длина основания \( KT = 2x = 2 \times \frac{118,25}{27} ≈ 8,76 \) см.

Ответ: 1) 2√43,38 + 6,6 см. 2) ≈ 8,76 см.