1. Вне плоскости α расположен треугольник ABC, у которого медианы AA₁ и BB₁ параллельны плоскости α. Через вершины B и C треугольника проведены параллельные прямые, которые пересекают плоскость α соответственно в точках E и F. Докажите, что ECBF — параллелограмм.

Рассмотрим плоскость треугольника ABC. Она пересекает плоскость α по прямой, параллельной медианам AA₁ и BB₁, поскольку обе медианы параллельны α. Следовательно, плоскость треугольника ABC параллельна α.

Так как BE и CF параллельны, а точки B, C, E и F лежат в одной плоскости, противоположные стороны BE и CF параллельны. Параллельное проектирование из плоскости треугольника ABC на α вдоль направления BE переводит B в E и C в F. Такое проектирование сохраняет параллельность, поэтому EF ∥ BC.

В четырёхугольнике ECBF обе пары противоположных сторон параллельны: EC и BF параллельны не следуют из построения, но стороны в порядке E–C–B–F — это EC, CB, BF, FE. Здесь CB ∥ FE, а EB ∥ CF — диагонали, а не стороны. Более того, заданные условия гарантируют EF ∥ BC и BE ∥ CF, то есть параллелограмм — это EBCF, а не ECBF.

Поэтому в формулировке, вероятно, переставлен порядок вершин: из условий следует, что EBCF — параллелограмм. Для ECBF утверждение в общем случае неверно.