3. Все грани параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ — квадраты со стороной a. Через середину AD параллельно плоскости DA₁B₁ проведена плоскость. Найдите периметр сечения.

Обозначим через P середину AD. Зададим куб координатами: A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), D(0; a; 0), A₁(0; 0; a), B₁(a; 0; a).

Плоскость DA₁B₁ имеет уравнение x + y + z = a. Плоскость, параллельная ей и проходящая через P(0; a/2; 0), имеет уравнение x + y + z = a/2.

Она пересекает рёбра, выходящие из A, в точках с координатами (a/2; 0; 0), (0; a/2; 0) и (0; 0; a/2). Сечение — равносторонний треугольник: расстояние между любой парой этих точек равно a/√2.

Следовательно, периметр сечения равен 3a/√2.

Ответ: 3a/√2.