Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика
Ответ:
Привет! Давай разберемся с этой задачей по тригонометрии. Нам дано, что \[ \cos \alpha = -\frac{4}{5} \] и угол \[ \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi \] Это значит, что угол \[ \alpha \] находится во второй четверти. В этой четверти синус положительный, а тангенс отрицательный. Как это поможет нам?
1. Находим \[ \sin \alpha \]
Мы знаем основное тригонометрическое тождество: \[ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \] Подставляем наше значение \[ \cos \alpha \] :
\[ \sin^2 \alpha + \left(-\frac{4}{5}\right)^2 = 1 \] \[ \sin^2 \alpha + \frac{16}{25} = 1 \] \[ \sin^2 \alpha = 1 - \frac{16}{25} = \frac{25-16}{25} = \frac{9}{25} \] Теперь извлекаем квадратный корень: \[ \sin \alpha = \pm \sqrt{\frac{9}{25}} = \pm \frac{3}{5} \] Поскольку \[ \alpha \] во второй четверти, \[ \sin \alpha \] должен быть положительным. Значит: \[ \sin \alpha = \frac{3}{5} \] 2. Находим \[ \text{tg} \alpha \]
Тангенс — это отношение синуса к косинусу: \[ \text{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \] Подставляем найденные значения: \[ \text{tg} \alpha = \frac{\frac{3}{5}}{-\frac{4}{5}} = \frac{3}{5} \times \left(-\frac{5}{4}\right) = -\frac{3}{4} \] 3. Находим \[ \cos 2\alpha \]
Есть несколько формул для \[ \cos 2\alpha \] . Самая удобная здесь — через \[ \cos \alpha \] :
\[ \cos 2\alpha = 2 \cos^2 \alpha - 1 \] Подставляем значение \[ \cos \alpha \] :
\[ \cos 2\alpha = 2 \left(-\frac{4}{5}\right)^2 - 1 \] \[ \cos 2\alpha = 2 \times \frac{16}{25} - 1 = \frac{32}{25} - 1 = \frac{32-25}{25} = \frac{7}{25} \] Итого: \[ \sin \alpha = \frac{3}{5} \] \[ \text{tg} \alpha = -\frac{3}{4} \] \[ \cos 2\alpha = \frac{7}{25} \]
