4. Упростить выражение: 1) sin (α - β) - sin (π/2 - α) · sin (-β); 2) cos² (π - α) - cos² (π/2 - α); 3) 2 sin α sin β + cos (α + β).

Привет! Давай упростим эти тригонометрические выражения.

1. Упростить \[ \sin (\alpha - \beta) - \sin \left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) \cdot \sin (-\beta) \]

Воспользуемся формулами приведения и свойствами синуса:

\[ \sin \left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = \cos \alpha \] \[ \sin (-\beta) = -\sin \beta \] Теперь подставим это в выражение:

\[ \sin (\alpha - \beta) - (\cos \alpha) \cdot (-\sin \beta) \] \[ = \sin (\alpha - \beta) + \cos \alpha \sin \beta \] Раскроем \[ \sin (\alpha - \beta) \] по формуле синуса разности: \[ \sin (\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta \] Подставляем обратно: \[ (\sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta) + \cos \alpha \sin \beta \] \[ = \sin \alpha \cos \beta \] 2. Упростить \[ \cos^2 \left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) - \cos^2 \left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) \]

Ой, кажется, здесь ошибка в задании! Вычитаются два одинаковых выражения. Если бы второе выражение было \[ \sin^2 \left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) \] , то получилось бы \[ \cos^2 \left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) - \sin^2 \left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) \] , что равно \[ \cos(\pi - 2\alpha) \] . Но по условию:

\[ \cos^2 \left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) - \cos^2 \left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = 0 \] 3. Упростить \[ 2 \sin \alpha \sin \beta + \cos (\alpha + \beta) \]

Воспользуемся формулой косинуса суммы: \[ \cos (\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta \] Подставляем это в выражение: \[ 2 \sin \alpha \sin \beta + (\cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta) \] \[ = 2 \sin \alpha \sin \beta + \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta \] \[ = \sin \alpha \sin \beta + \cos \alpha \cos \beta \] Это снова формула косинуса суммы: \[ = \cos (\alpha - \beta) \] Ответ:

1. \[ \sin \alpha \cos \beta \]
2. \[ 0 \]
3. \[ \cos (\alpha - \beta) \]