3. Доказать тождество: 1) 3 cos 2α + sin² α - cos² α = 2 cos 2α; 2) (sin 5α - sin 3α) / (2 cos 4α) = sin α.

Привет! Давай докажем эти тригонометрические тождества шаг за шагом.

1. Доказать тождество: \[ 3 \cos 2\alpha + \sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha = 2 \cos 2\alpha \]

Начнем с левой части тождества и постараемся привести ее к правой. Помни основное тригонометрическое тождество \[ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \] . Из него следует, что \[ \sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha \] .

Также воспользуемся формулой косинуса двойного угла: \[ \cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha \] .

Можно преобразовать \[ \sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha \] :

\[ \sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha = -(\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha) = -\cos 2\alpha \] Теперь подставим это в левую часть нашего тождества: \[ 3 \cos 2\alpha + (\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha) = 3 \cos 2\alpha + (-\cos 2\alpha) \] \[ = 3 \cos 2\alpha - \cos 2\alpha = 2 \cos 2\alpha \] Мы получили правую часть тождества. Значит, тождество доказано.

2. Доказать тождество: \[ \frac{\sin 5\alpha - \sin 3\alpha}{2 \cos 4\alpha} = \sin \alpha \]

Здесь нам понадобятся формулы суммы и разности тригонометрических функций.

Формула для разности синусов: \[ \sin x - \sin y = 2 \sin \frac{x-y}{2} \cos \frac{x+y}{2} \] Применим ее к числителю: \[ x = 5\alpha \] , \[ y = 3\alpha \] .

\[ \sin 5\alpha - \sin 3\alpha = 2 \sin \frac{5\alpha - 3\alpha}{2} \cos \frac{5\alpha + 3\alpha}{2} \] \[ = 2 \sin \frac{2\alpha}{2} \cos \frac{8\alpha}{2} = 2 \sin \alpha \cos 4\alpha \] Теперь подставим это обратно в левую часть тождества: \[ \frac{2 \sin \alpha \cos 4\alpha}{2 \cos 4\alpha} \] Если \[ \cos 4\alpha \neq 0 \] , то мы можем сократить \[ 2 \cos 4\alpha \] :

\[ \frac{2 \sin \alpha \cos 4\alpha}{2 \cos 4\alpha} = \sin \alpha \] Мы получили правую часть тождества. Значит, тождество доказано.