Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика
Ответ:
Привет! Давай найдем значения этих тригонометрических выражений по порядку.
1. \[ \cos 135° \]
Угол 135° находится во второй четверти. Мы можем представить его как 180° - 45°. Синус и косинус второй четверти отрицательны, а тангенс тоже отрицателен. По формуле приведения:
\[ \cos(180° - \alpha) = -\cos \alpha \] Значит: \[ \cos 135° = \cos(180° - 45°) = -\cos 45° \] Мы знаем, что \[ \cos 45° = \frac{\sqrt{2}}{2} \] Поэтому: \[ \cos 135° = -\frac{\sqrt{2}}{2} \] 2. \[ \sin \frac{8\pi}{3} \]
Угол \[ \frac{8\pi}{3} \] больше \[ 2\pi \] . Выделим целое число оборотов:
\[ \frac{8\pi}{3} = \frac{6\pi + 2\pi}{3} = 2\pi + \frac{2\pi}{3} \] Поскольку синус периодичен с периодом \[ 2\pi \] :
\[ \sin \frac{8\pi}{3} = \sin\left(2\pi + \frac{2\pi}{3}\right) = \sin \frac{2\pi}{3} \] Угол \[ \frac{2\pi}{3} \] находится во второй четверти, где синус положителен. Это \[ \pi - \frac{\pi}{3} \] :
\[ \sin \frac{2\pi}{3} = \sin\left(\pi - \frac{\pi}{3}\right) = \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \] 3. \[ \text{tg} \frac{7\pi}{3} \]
Аналогично, выделим целое число оборотов:
\[ \frac{7\pi}{3} = \frac{6\pi + \pi}{3} = 2\pi + \frac{\pi}{3} \] Тангенс периодичен с периодом \[ \pi \] (и, соответственно, \[ 2\pi \] ):
\[ \text{tg} \frac{7\pi}{3} = \text{tg}\left(2\pi + \frac{\pi}{3}\right) = \text{tg} \frac{\pi}{3} \] Значение \[ \text{tg} \frac{\pi}{3} \] равно: \[ \text{tg} \frac{\pi}{3} = \sqrt{3} \] 4. \[ \cos^2 \frac{\pi}{8} - \sin^2 \frac{\pi}{8} \]
Здесь нам поможет формула косинуса двойного угла: \[ \cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha \] В нашем случае \[ \alpha = \frac{\pi}{8} \] , значит \[ 2\alpha = 2 \times \frac{\pi}{8} = \frac{\pi}{4} \] :
\[ \cos^2 \frac{\pi}{8} - \sin^2 \frac{\pi}{8} = \cos \left(2 \times \frac{\pi}{8}\right) = \cos \frac{\pi}{4} \] И мы знаем, что: \[ \cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \] Ответ:
- \[ \cos 135° = -\frac{\sqrt{2}}{2} \]
- \[ \sin \frac{8\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \]
- \[ \text{tg} \frac{7\pi}{3} = \sqrt{3} \]
- \[ \cos^2 \frac{\pi}{8} - \sin^2 \frac{\pi}{8} = \frac{\sqrt{2}}{2} \]
