1. Выполните действия: a) \(\frac{2x+1}{x+2} + \frac{2-3y}{x^2-2x}\) б) \(\frac{a+1}{2a(a-1)} - \frac{a-1}{2a(a+1)}\)

1. Выполните действия:

а) \( \frac{2x+1}{x+2} + \frac{2-3y}{x^2-2x} \)

Приведём дроби к общему знаменателю \( x(x-2) \).

1. Разложим знаменатель второй дроби: \( x^2-2x = x(x-2) \).
2. Общий знаменатель для \( x+2 \) и \( x(x-2) \) отсутствует, так как \( x+2 \) и \( x(x-2) \) не имеют общих множителей. Вероятно, в условии опечатка, и знаменатель первой дроби должен быть \( x+2 \), а второй \( x^2-4 = (x-2)(x+2) \), или же \( x+2 \) и \( x^2-2x \) это корректные знаменатели. Исходя из написанного, знаменатели \( x+2 \) и \( x^2-2x \) не имеют общих множителей.
3. Если допустить, что \( x^2-2x \) это \( x(x-2) \) и \( x+2 \), то общего знаменателя нет.
4. Если предположить, что в знаменателе второй дроби была опечатка и должно быть \( x^2-4 = (x-2)(x+2) \), тогда:

\( \frac{2x+1}{x+2} + \frac{2-3y}{x^2-4} = \frac{(2x+1)(x-2)}{(x+2)(x-2)} + \frac{2-3y}{(x+2)(x-2)} = \frac{2x^2-4x+x-2 + 2-3y}{x^2-4} = \frac{2x^2-3x-3y}{x^2-4} \)

Если же знаменатели корректны, то общий знаменатель \( (x+2)(x^2-2x) \):

\( \frac{2x+1}{x+2} + \frac{2-3y}{x^2-2x} = \frac{(2x+1)(x^2-2x)}{(x+2)(x^2-2x)} + \frac{(2-3y)(x+2)}{(x+2)(x^2-2x)} = \frac{2x^3-4x^2+x^2-2x + 2x+4-3xy-6y}{(x+2)(x^2-2x)} = \frac{2x^3-3x^2-3xy-6y+4}{(x+2)(x^2-2x)} \)

б) \( \frac{a+1}{2a(a-1)} - \frac{a-1}{2a(a+1)} \)

1. Общий знаменатель: \( 2a(a-1)(a+1) \).
2. Приведём дроби к общему знаменателю:

\( \frac{(a+1)(a+1)}{2a(a-1)(a+1)} - \frac{(a-1)(a-1)}{2a(a+1)(a-1)} = \frac{(a+1)^2 - (a-1)^2}{2a(a^2-1)} \)

\( (a+1)^2 = a^2+2a+1 \)

\( (a-1)^2 = a^2-2a+1 \)

\( (a^2+2a+1) - (a^2-2a+1) = a^2+2a+1 - a^2+2a-1 = 4a \)

\( \frac{4a}{2a(a^2-1)} = \frac{2}{a^2-1} \)

Ответ: а) \( \frac{2x^3-3x^2-3xy-6y+4}{(x+2)(x^2-2x)} \) (при условии корректности записи) или \( \frac{2x^2-3x-3y}{x^2-4} \) (при исправлении опечатки); б) \( \frac{2}{a^2-1} \).