1. Высота цилиндра равна 5 см, а диагональ осевого сечения — 13 см. Найти объём цилиндра.

Решение:

Дано:

Высота цилиндра \( h = 5 \) см.

Диагональ осевого сечения \( d = 13 \) см.

Найти:

Объём цилиндра \( V \).

Осевое сечение цилиндра — это прямоугольник, диагональ которого \( d \), высота \( h \) и диаметр основания \( D \) связаны теоремой Пифагора: \( d^2 = h^2 + D^2 \).

1. Найдём диаметр основания: \[ D^2 = d^2 - h^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144 \] \( D = \sqrt{144} = 12 \) см.
2. Найдём радиус основания: \( r = \frac{D}{2} = \frac{12}{2} = 6 \) см.
3. Найдём объём цилиндра по формуле: \( V = \pi r^2 h \).
4. Подставим значения: \[ V = \(\pi\) \(\cdot\) 6^2 \(\cdot\) 5 = \(\pi\) \(\cdot\) 36 \(\cdot\) 5 = 180\(\pi\) \) см³.

Ответ: \( 180\pi \) см³.