2. Прямоугольный треугольник АВС с гипотенузой АВ, равной 6 см и углом 60° вращается вокруг катета АС. Найдите объём тела вращения.

Решение:

Тело вращения — это конус. Ось вращения — катет АС, который является высотой конуса \( h \). Катет ВС является радиусом основания конуса \( r \). Гипотенуза АВ — образующая конуса \( l \).

Дано:

Гипотенуза \( AB = l = 6 \) см.

Угол \( \angle BAC = 60^{\circ} \).

Найти:

Объём тела вращения \( V \).

1. Угол \( \angle ABC = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ} \).
2. Найдем катет ВС (радиус конуса \( r \)): \( r = AB \cdot \sin(60^{\circ}) = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3} \) см.
3. Найдем катет АС (высота конуса \( h \)): \( h = AB \cdot \cos(60^{\circ}) = 6 \cdot \frac{1}{2} = 3 \) см.
4. Объём конуса вычисляется по формуле: \( V = \frac{1}{3}\pi r^2 h \).
5. Подставим значения: \[ V = \(\frac{1}{3}\)\(\pi\) \(3\sqrt{3}\)^2 \(\cdot\) 3 = \(\frac{1}{3}\)\(\pi\) \(9 \cdot 3\) \(\cdot\) 3 = \(\frac{1}{3}\)\(\pi\) \(\cdot\) 27 \(\cdot\) 3 = 27\(\pi\) \) см³.

Ответ: \( 27\pi \) см³.