4. Образующая конуса равна 10 см, а площадь его боковой поверхности равна — 60π. Найти объём вписанного в конус шара.

Решение:

Дано:

Образующая конуса \( l = 10 \) см.

Площадь боковой поверхности конуса \( S_{бок} = 60\pi \) см².

Найти:

Объём вписанного шара \( V_{шара} \).

Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле: \( S_{бок} = \pi r l \), где \( r \) — радиус основания конуса.

1. Найдём радиус основания конуса: \[ 60\pi = \pi r \cdot 10 \] \( r = \frac{60\pi}{10\pi} = 6 \) см.
2. Найдём высоту конуса \( h \) по теореме Пифагора: \( h^2 + r^2 = l^2 \)
3. \[ h^2 + 6^2 = 10^2 \] \( h^2 + 36 = 100 \) \( h^2 = 100 - 36 = 64 \) \( h = \sqrt{64} = 8 \) см.
4. Радиус \( R \) вписанного шара находится по формуле: \( R = \frac{r h}{l + \sqrt{h^2 + r^2}} \) (или \( R = \frac{r h}{l + r} \) если \( l = \sqrt{h^2+r^2} \), что неверно. Формула для радиуса шара, вписанного в конус: \( R = \frac{r h}{l+r} \) - это неверно. Правильная формула радиуса вписанного шара: \( R = \frac{r \cdot h}{l + r} \) - это для описанного шара. Правильная формула для вписанного шара: \( R = \frac{r h}{l + \sqrt{r^2+h^2}} \) - это тоже неверно.
5. Рассмотрим осевое сечение конуса — равнобедренный треугольник с основанием \( 2r = 12 \) и боковыми сторонами \( l = 10 \). Высота этого треугольника \( h = 8 \). В этот треугольник вписана окружность (сечение шара). Радиус \( R \) этой окружности равен радиусу вписанного шара.
6. Площадь треугольника \( S_{\triangle} = \frac{1}{2} \cdot (2r) \cdot h = r h = 6 \cdot 8 = 48 \) см².
7. Периметр треугольника \( P = 2l + 2r = 2 \cdot 10 + 2 \cdot 6 = 20 + 12 = 32 \) см.
8. Радиус вписанной окружности (шара) \( R = \frac{S_{\triangle}}{P/2} = \frac{48}{32/2} = \frac{48}{16} = 3 \) см.
9. Найдём объём вписанного шара по формуле: \( V_{шара} = \frac{4}{3}\pi R^3 \).
10. Подставим значения: \[ V_{шара} = \(\frac{4}{3}\)\(\pi\) (3)^3 = \(\frac{4}{3}\)\(\pi\) \(\cdot\) 27 = 4 \(\cdot\) 9 \(\pi\) = 36\(\pi\) \) см³.

Ответ: \( 36\pi \) см³.