Контрольные задания
Вопрос:

2. Прямоугольный треугольник с катетом \( 2\sqrt{3} \) см и принадлежащим к нему углом 60° вращается вокруг второго катета. Найдите объём тела вращения.

Фото задания: 2. Прямоугольный треугольник с катетом \( 2\sqrt{3} \) см и принадлежащим к нему углом 60° вращается вокруг второго катета.…Фото задания

Ответ:

Решение:

Тело вращения, образованное вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов, является конусом. Второй катет будет радиусом основания конуса, а катет, вокруг которого происходит вращение, — высотой конуса.

Дано:

Катет \( a = 2\sqrt{3} \) см.

Угол между катетом \( a \) и гипотенузой \( \alpha = 60^{\circ} \).

Найти:

Объём конуса \( V \).

  1. Обозначим второй катет как \( b \) и гипотенузу как \( c \).
  2. Используем тригонометрические соотношения для прямоугольного треугольника: \( \tan \alpha = \frac{a}{b} \).
  3. Выразим второй катет \( b \) (который будет радиусом конуса \( r \)): \[ b = \(\frac{a}{\tan \alpha}\) = \(\frac{2\sqrt{3}}{\tan 60^{\circ}}\) = \(\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\) = 2 \) см.
  4. Таким образом, радиус основания конуса \( r = b = 2 \) см.
  5. Высота конуса \( h \) — это катет, вокруг которого происходит вращение. Найдем его, используя теорему Пифагора: \( c^2 = a^2 + b^2 \). Также можно найти высоту \( h = a \) (если вращение вокруг катета \( a \)) или \( h = b \) (если вращение вокруг катета \( b \)). В условии сказано, что вращение происходит вокруг второго катета. Значит, \( h = b = 2 \) см, а \( r = a = 2\sqrt{3} \) см. (Перечитаем условие: «вращается вокруг второго катета». Это значит, что тот катет, который не является \( 2\sqrt{3} \) и не гипотенуза, является осью вращения, т.е. высотой. Второй катет — это \( b \), угол \( 60^{\circ} \) при нём.)
  6. Уточним: если катет \( a = 2\sqrt{3} \) и угол при нём \( 60^{\circ} \), то второй катет \( b \) (высота вращения \( h \)) равен \( b = a / \tan 60^{\circ} = 2\sqrt{3} / \sqrt{3} = 2 \) см. А радиус вращения \( r \) равен катету \( a \), т.е. \( r = 2\sqrt{3} \) см.
  7. Найдём объём конуса по формуле: \( V = \frac{1}{3}\pi r^2 h \).
  8. Подставим значения: \[ V = \(\frac{1}{3}\)\(\pi\) \(2\sqrt{3}\)^2 \(\cdot\) 2 = \(\frac{1}{3}\)\(\pi\) \(4 \cdot 3\) \(\cdot\) 2 = \(\frac{1}{3}\)\(\pi\) \(\cdot\) 12 \(\cdot\) 2 = 8\(\pi\) \) см3.

Ответ: \( 8\pi \) см3.